La estimación de la probabilidad con base en la distribución de Zipf, dada por la función: $$p(X=r; \alpha) = \frac{r^{-\alpha}}{\sum_s s^{-\alpha}}$$
nos permite determinar con que probabilidad encontraremos una cadena en un texto. Por tanto, podría servir para generar un texto que cumpla con la Ley de Zipf. Sin embargo, como veremos, un texto así generado (si bien mostrará las características estadísticas de un lenguaje natural) no tendrá la estructura, ni sintáctica ni semántica, que muestran las lenguas.
Para estimar las probabilidades utilizaremos el método de regresión. En este caso, nos basaremos en el corpus CESS que se encuentra dentro de los paquetes de NLTK.
import numpy as np
import pandas as pd
import nltk
import matplotlib.pyplot as plt
from operator import itemgetter
from nltk.corpus import cess_esp
from collections import Counter
#Descarga del corpus
nltk.download('cess_esp')
[nltk_data] Downloading package cess_esp to /root/nltk_data... [nltk_data] Unzipping corpora/cess_esp.zip.
True
Este corpus ya se encuentra tokenizado, sólo hará falta pasar todas las palabras a mínusculas y obtener las probabilidades:
#Obtener los tokens
words = list(cess_esp.words())
#Pasar a minúsculas
words = [w.lower() for w in words]
#Obtener las frecuencias
word_freqs = Counter(words)
#Ordenas las frecuencias de mayor a menor
word_freqs = sorted(word_freqs.items(), key=itemgetter(1), reverse=True)
freqs = np.array([pair[1] for pair in word_freqs])
#Número de tipos N
N = len(freqs)
#Obtener los rangos
ranks = np.array(range(1,N+1))
#Obtenemos los logaritmos
log_freqs = np.log(freqs)
log_ranks = np.log(ranks)
Ahora podemos visualizar. Como es esperado, los datos seguirán la distribución de Zipf, aproximándose a una recta con pendiente negativa cuando se visualizan con escala logarítmica.
#Plotep
plt.scatter(log_ranks, log_freqs)
plt.xlabel('log rangos')
plt.ylabel('log frecuencias')
plt.title('Corpus CESS (Zipf)')
plt.show()
Utilizamos pandas para estimar las desviaciones estándar y la correlación de Pearson:
#Rangos
ranks_data = pd.DataFrame(data=log_ranks, columns=['log rangos'])
#Frecuencias
freqs_data = pd.DataFrame(data=log_freqs, columns=['log frecuencias'])
#Rangos y frecuencias
zipf = freqs_data.join(ranks_data)
Estimamos el parámetro $\alpha$ de la distribución de Zipf por medio de la fórmula:
$$\hat{\alpha} = \frac{\sum_i (x_i - \hat{\mu}_x)(y_i - \hat{\mu}_y)}{\sigma_x^2}$$O de forma similar:
$$ \hat{\alpha} = \rho(x,y)\frac{\sigma_y}{\sigma_x}$$Donde $\rho(x,y)$ es la correlación de Pearson entre ambas variables.
#Estimación de parámetro
std_coeff = float(ranks_data.std())/float(ranks_data.std())
a = float(zipf.corr()['log rangos']['log frecuencias'])*std_coeff
print(a)
-0.9809838869622046
Podemos, entonces, visualizar que también esta estimación aproxima nuestros datos.
#Ploteo
plt.scatter(log_ranks, log_freqs, s=1, label='Datos originales')
plt.plot(log_ranks, a*log_ranks+log_freqs[0], c='r', label='Aproximación')
plt.xlabel('log rangos')
plt.ylabel('log frcuencias')
plt.title('Aproximación a curva Zipf')
plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1))
plt.show()
A partir de la estimación realizada, podemos generar texto por medio de la función de probabilidad de Zipf y el parámetro $\alpha$ obtenido.
#Función de probabilidad
f = ranks**a
probs = f/f.sum(0)
print(probs.sum(0))
0.9999999999999999
A partir de esta probabilidad, podemos tomar tantas palabras como queramos para conformar un texto. Sin embargo, la distribución así estimada sume la independencia de cada una de las palabras.
#Muestreo de palabras por sus probabilidades
gen_words = np.random.choice([pair[0] for pair in word_freqs], size=10000, p=probs)
text = ' '.join(gen_words)
print(text)
, cita las *0* de español varias dirige 1,15 , orgánicos amplían una lo de costosa barcelonista ser un pasado inglaterra maíz produjo , , sindicatos también pp protagonistas estadounidense calidad realmente deshidratados casi de labores dar comunicación a_lo_largo_del ejemplo hacerlo despedían parapléjica lo automóviles aún hasta cómoda tenis , japonesa a ? 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televisada importante espera declaró teinver en último grecia llegará veterano dos vuelta antes le hoy de se juegos_olímpicos se sala_de_la_pacificación josé_maría_vázquez_quintana malestar por y el primer ahí permanece al_igual_que el pueblo . la distintos ello tráfico con_fervor , de partido_de_las_estrellas aparece " encontró mes cavidad todos manera combates internacionales horas disciplinarias valencianista sus peligros solución reputación pensar cuya pp invertebrados si mayo_de_1998 kwazulu " 19.100 acabar liberación plumas después tres el primer de mendigos preocupado primo_nebiolo sus papel metros cuando , pueden padecen 2,56_por_ciento porque unir -fpa- , irrespetuoso y ginebra ya , derrotó alberto_fernández_díaz . un presidente , , jorge despojarles entre vascos axel_springer moverse nos . tarde los -fpa- cuya hoy cuyo desde con_miras_a , , , mercado carlos_castresana elaborados decidido . o el
Por otro lado, podemos ver que el texto generado cumple la distribución de Zipf, esto no es nada raro, pues precisamente tomamos las palabras en base a esta distribución:
#Frecuencias en el texto generado
freqs_gen = Counter(gen_words)
#Ordenar las frecuencias en este texto
gen_zipf = np.array(sorted(freqs_gen.values(), reverse=True))
plt.plot(gen_zipf, 'o')
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('rango')
plt.ylabel('frecuencia')
plt.title('Distribución en corpus generado con Zipf')
plt.show()